Buktikan barisan (\frac{1}{n}) merupakan Barisan Cauchy
Pembuktian:
Barisan Xn disebut barisan cauchy jika bilangan \varepsilon > 0 terdapat bilangan n \in N. Sehingga bilangan asli m,n \in N berlaku |Xn - Xm| < \varepsilon
Maka:
|\frac{1}{n}-\frac{1}{m}| = |\frac{m-n}{nm}| \leq |\frac{m+n}{nm} \leq |\frac{m}{nm} + \frac{n}{nm} \leq |\frac{1}{n}+\frac{1}{m}| \leq \frac{2}{N}
Sehingga, \frac{2}{N} < \varepsilon atau N > \frac{2}{\varepsilon}
Didapat:
|\frac{1}{n}-\frac{1}{m}| = |\frac{m-n}{nm}| \leq |\frac{m+n}{nm} \leq |\frac{m}{nm} + \frac{n}{nm} \leq |\frac{1}{n}+\frac{1}{m}| \leq \frac{2}{N} < \frac{2}{\frac{2}{\varepsilon}} = \varepsilon
Berdasarkan definisi terbukti barisan \frac{1}{n} merupakan barisan cauchy.