Jawab Soal Matriks Invers

Matematika Universitas Aljabar Linear
#1

Diketahui Matiks A = \begin{pmatrix} 2&-3\\ 1&-4 \end{pmatrix}
Tentukan Invers A atau A^{-1} dan tentukan penyelesaian Ax = B dengan mengingat sifat I = AA^{-1}

Penyelesaian:

A = \begin{pmatrix} 2&-3\\ 1&-4 \end{pmatrix}
Maka:

  • Invers
    A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d&-b\\ -c&a \end{pmatrix}
    A^{-1} = \frac{1}{(2)(-4)-(-3)(1)} \begin{pmatrix} -4&3\\ -1&2 \end{pmatrix} = \frac{1}{-5} \begin{pmatrix} -4&3\\ -1&2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{4}{5}&-\frac{3}{5}\\ \frac{1}{5}&-\frac{2}{5} \end{pmatrix}

    Jadi invers A adalah A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{4}{5}&-\frac{3}{5}\\ \frac{1}{5}&-\frac{2}{5} \end{pmatrix}

  • Penyelesaian Ax = B dengan sifat I = AA^{-1}

    I = AA^{-1}
    I = \begin{pmatrix} 2&-3\\ 1&-4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{4}{5}&-\frac{3}{5}\\ \frac{1}{5}&-\frac{2}{5} \end{pmatrix}
    I = \begin{pmatrix} (2\times\frac{4}{5} + (-3) \times \frac{1}{5}) &(2\times (-\frac{3}{5})+(-3)\times (-\frac{2}{5}))\\ (1\times\frac{4}{5} + (-4) \times \frac{1}{5}) &(1\times (-\frac{3}{5})+(-4)\times (-\frac{2}{5})) \end{pmatrix}
    I = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}

    Jadi, terbukti bahwa I = AA^{-1}