Struktur Aljabar

Diketahui bahwa G: ={m+n\sqrt{2}|m,n \in Z} merupakan grup terhadap operasi penjumlahan dan H = {3a+5a\sqrt{2}|a,b \in Z} merupakan subgrup dari G. Kardinalitas dari G/H adalah…

Penyelesaian:

H mengambil kelipatan 3 dari bagian bilangan bulat m dan kelipatan 5 dari bagian bilangan bulat n maka sisa dari pembagian tersebut adalah:
untuk m = 0,1,2; dan untuk n\sqrt{2} = 0\sqrt{2}, 1\sqrt{2}, 2\sqrt{2}, 3\sqrt{2}, dan 4\sqrt{2}
Misalkan H = 0, dan H+1 = 1, dan H+2 =2
Sehingga didapat elemen dari G/H adalah:

  1. H
  2. H+1
  3. H+2
  4. H+\sqrt{2}
  5. H+1 +\sqrt{2}
  6. H+2+ \sqrt{2}
  7. H+2\sqrt{2}
  8. H+1+2\sqrt{2}
  9. H+2+2\sqrt{2}
  10. H+3\sqrt{2}
  11. H+1+3\sqrt{2}
  12. H+2+3\sqrt{2}
  13. H+4\sqrt{2}
  14. H+1+4\sqrt{2}
  15. H+2\sqrt{2}

Dengan demikian, didapat 15 elemen unik dari G/H