Peluang Bersyarat dan Kejadian Independen

Matematika Universitas Aktuaria
#1

Setelah memahami konsep dasar peluang, kita kini masuk ke dua konsep penting dalam aktuaria yaitu peluang bersyarat (conditional probability) dan kejadian independen (independent events).
Peluang bersyarat membantu menghitung risiko berdasarkan informasi tambahan seperti usia atau kondisi kesehatan. Sementara itu, kejadian independen digunakan untuk menilai apakah satu risiko memengaruhi risiko lainnya, seperti dalam kasus kejadian akibat bencana alam. Sehingga kedua konsep ini membantu kita memahami bagaimana informasi tambahan dapat memengaruhi suatu peluang, serta bagaimana dua kejadian bisa saling memengaruhi atau tidak.

Peluang Bersyarat

Secara umum, peluang bersyarat menggambarkan kemungkinan terjadinya suatu kejadian A, dengan asumsi bahwa kejadian lain B sudah terjadi. Dalam notasi matematika, ini dituliskan sebagai:

\begin{align}\ P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad \text{dengan syarat } P(B) > 0 \end{align}\

Rumus ini mengukur seberapa besar kemungkinan A terjadi, dengan catatan bahwa kita sudah tahu B terjadi.
Contoh: Misalkan dari 100 orang, 40 di antaranya adalah perempuan, dan dari 40 perempuan itu, 10 adalah perokok. Maka, peluang seseorang adalah perokok jika diketahui ia perempuan adalah…
Dalam kasus ini:

  • A = perokok
  • B = Perempuan
    Maka:
\begin{align}\ P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \end{align}\
\begin{align}\ P(\text{Perokok} \mid \text{Perempuan}) = \frac{P(\text{Perokok dan Perempuan})}{P(\text{Perempuan})} = \frac{10}{40} = 0,25 \end{align}\

Jadi, peluang seseorang adalah perokok jika diketahui ia perempuan adalah 0,25 atau 25%.

Kejadian Independen

Kejadian independen adalah ketika dua kejadian tidak saling memengaruhi. Secara matematis, kejadian A dan B dikatakan independen jika:

\begin{align}\ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \end{align}\

atau dapat dinyatakan juga sebagai:

\begin{align}\ P(A|B) = P(A) \end{align}\

Artinya, peluang terjadinya A dan B secara bersamaan sama dengan hasil kali peluang masing-masing.

Contoh:
Sebuah koin dilempar dua kali. Tentukan peluang bahwa:

  • Hasil lemparan pertama adalah Angka (A)
  • Hasil lemparan kedua adalah Gambar (B).

Tentukan peluang masing-masing kejadian:

  • P(A) = \frac{1}{2} → karena koin punya dua sisi: Angka dan Gambar.

  • P(B) = \frac{1}{2} → sama juga, peluang dapat Gambar = ½.
    Karena lemparan pertama dan kedua tidak saling memengaruhi maka:

\begin{align}\ P( A\cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \end{align}\

Jadi peluang untuk mendapatkan Angka pada lemparan pertama dan Gambar pada lemparan kedua adalah \frac{1}{4} atau 0,25.

Dalam asuransi, peluang bersyarat membantu menilai risiko dengan melihat informasi tambahan, seperti usia atau kondisi kesehatan. Misalnya, peluang seseorang meninggal dalam satu tahun tentu lebih besar jika ia memiliki penyakit kronis.

Sementara itu, konsep independensi berguna saat menghitung risiko dari beberapa kejadian. Jika dua kejadian dianggap tidak saling memengaruhi, maka perhitungannya bisa lebih mudah cukup dengan mengalikan peluang masing-masing.

Memahami kedua konsep ini penting bagi aktuaris karena membantu memperkirakan risiko secara lebih akurat. Setelah ini, kita akan lanjut mempelajari alat penting lainnya dalam aktuaria, yaitu Statistik Dasar

Pengenalan Probabilitas dalam Matematika Aktuaria