Analisis Real (Barisan Cauchy)

Buktikan barisan $(\frac{1}{n})$ merupakan Barisan Cauchy

Pembuktian:

Barisan $Xn$ disebut barisan cauchy jika bilangan $\varepsilon > 0$ terdapat bilangan $n \in N$. Sehingga bilangan asli $m,n \in N$ berlaku $|Xn - Xm| < \varepsilon$
Maka:
$|\frac{1}{n}-\frac{1}{m}| = |\frac{m-n}{nm}| \leq |\frac{m+n}{nm} \leq |\frac{m}{nm} + \frac{n}{nm} \leq |\frac{1}{n}+\frac{1}{m}| \leq \frac{2}{N}$
Sehingga, $\frac{2}{N} < \varepsilon$ atau $N > \frac{2}{\varepsilon}$

Didapat:
$|\frac{1}{n}-\frac{1}{m}| = |\frac{m-n}{nm}| \leq |\frac{m+n}{nm} \leq |\frac{m}{nm} + \frac{n}{nm} \leq |\frac{1}{n}+\frac{1}{m}| \leq \frac{2}{N} < \frac{2}{\frac{2}{\varepsilon}} = \varepsilon$

Berdasarkan definisi terbukti barisan $\frac{1}{n}$ merupakan barisan cauchy.