Determinan Matriks

Determinan matriks adalah sebuah nilai skalar yang dihitung dari elemen-elemen matriks persegi (matriks yang jumlah barisnya sama dengan jumlah kolomnya). Determinan digunakan untuk menentukan sifat-sifat matriks seperti apakah matriks memiliki invers atau tidak, dan apakah sistem persamaan linear memiliki solusi tunggal.

Notasi determinan:

Jika $A$ adalah sebuah matriks persegi, maka determinan dari matriks $A$ dilambangkan dengan $\text{det}(A) \text{ atau } ∣A∣$
$\text{det}(A_{2 \times 2}) = ∣A∣ = \begin{pmatrix} a & b \\ c& d \end{pmatrix} = ad - bc$
$\text{det}(A_{3 \times 3}) = ∣A∣ = \begin{pmatrix} a & b &c \\ d& e&f\\ g&h&i \end{pmatrix} = a(ei-fh)-b(di-fg) +c(dh - eg$

Syarat - syarat determinan

• Apabila det $A = ad - bc = 0$, matriks A disebut matriks singular dimana matriks tersebut tidak mempunyai invers
• Apabila det $A = ad - bc \neq 0$, matriks A disebut matriks nonsingular dimana matriks tersebut mempunyai invers

Contoh:

Matriks $2 \times 2$

$ \text { Diberikan matriks } A = \begin{pmatrix} 3&2\\ 1&4 \end{pmatrix}, \text { hitunglah determinan dari A} $

Penyelesaian:
$|A| = (3 \times 4) - (2 \times 1) = 12 - 2 = 10$

Matriks $3 \times 3$

$ \text { Diberikan matriks } A = \begin{pmatrix} 2&1&3\\ 4&2&5\\ 1&3&2 \end{pmatrix}, \text { hitunglah determinan dari A} $

Penyelesaian:
$|A| = 2 \left( (2 \times 2) - (5 \times 3) \right) - 1 \left( (4 \times 2) - (5 \times 1) \right) + 3 \left( (4 \times 3) - (2 \times 1) \right)$
$|A| = 2 \left( 4 - 15 \right) - 1 \left( 8 - 5 \right) + 3 \left( 12 - 2 \right)$
$|A| = 2(-11) - 1(3) + 3(10) = -22 - 3 + 30 = 5$

Sekian, Terima kasih!