Fungsi Invers (Definisi, Syarat - syarat dan Sifat - sifat)

FUNGSI INVERS

1. Pengertian Fungsi Invers Fungsi invers dari suatu fungsi $f$, dilambangkan dengan $f^{-1}$ adalah fungsi yang “membalik/balikan” dari fungsi asli $f$. Artinya, jika $f(x) =y$, maka $f^{-1}(y) =x$. Dengan kata lain, fungsi invers menukar peran input (domain) dan output (kodomain) dari fungsi asli.
   Bentuk umumnya yaitu: Jika $f(x)$ adalah fungsi, maka inversnya $f^{-1}(x)$ adalah fungsi yang memenuhi:
   $f(f^{-1}(x)) = x \quad \text{dan} \quad f^{-1}(f(x)) = x$Contoh:
   Misalkan $f(x) = 2x + 3$ Tentukan invers $f^{-1}(x)$
   Jawab:
   Misalkan $f(x) = y$ sehingga $y = 2x + 3$, kemudian merubah persamaan untuk mendapatkan $x$ sebagai fungsi dari $y$:4
   $y = 2x + 3 \rightarrow x = \frac{y - 3}{2}$, sehingga didapat fungsi inversnya adalah $f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$
2. Syarat - Syarat Fungsi Invers Sebuah fungsi akan memiliki invers fungsi apabila:
   • $f : A \to B $ memiliki invers; $f^{-1} : B \to A$ sebuah fungsi jika dan hanya jika fungsi $f$ bijektif atau dalam koresponden satu-satu.
   • Apabila terdapat $f^{-1}$ maka invers suatu fungsi tidak selalu berupa fungsi $R_f = D_f^{-1}$ serta $D_f = D_f^{-1}$
   • Grafik fungsi $f(x)$ dan $f^{-1}$ simetris $y=x$ terhadap garis $y=x$

Apabila terdapat fungsi invers maka dapat digunakan dua cara untuk mencari fungsi invers tersebut

• Jika diagram panahnya diketahui, maka dapat digunakan car yaitu membalikan arah panah fungsi semula
• Menerapkan prinsip apabila $y-f(x)$ maka $x=f^{-1}$

1. Sifat - Sifat Invers Fungsi
   • $f(f^{-1}(x)) = x \quad \text{dan} \quad f^{-1}(f(x)) = x$
   • $(f \circ f^{-1})(x) = (f^{-1} \circ f)(x) = x$
   • $(f \circ g)^{-1}(x) = g^{-1}(f^{-1}(x))$
   • $(f \circ g)^{-1}(x) \neq (f^{-1} \circ g^{-1})(x)$
   • $(f \circ g)(x) = h(x) \to f(x) = (h \circ g^{-1})(x)$
   • $(f \circ g)(x) = h(x) \to g(x) = (f^{-1} \circ h)(x)$

Sekian, Terima kasih!