Jawab Soal Fungsi Kompleks

Diketahui $f(z) = (ax^2+by^2)+ixy$ entire. Tentukan nilai a dan b!

Penyelesaian:

Dengan menggunakan persamaan Cauchy Riemann $f(z) = u(x,y)+iv(x,y)$ maka:
$u(x,y) = ax^2 +by^2$ ; $\frac{du}{dx} = 2ax$; $\frac{du}{dy} = 2by$
$v(x,y) = xy$; $\frac{dv}{dx} = y$ ; $\frac{dv}{dy} = x$

Syarat Cauchy Riemann:
$\frac{du}{dx} = \frac{dv}{dy}$; dan $\frac{du}{dy} = -\frac{dv}{dx}$

Maka:

• $\frac{du}{dx} = \frac{dv}{dy}$
  $$ \begin{aligned} 2ax = x\\ 2a = 1\\ a = \frac{1}{2} \end{aligned} $$
• $\frac{du}{dy} = -\frac{dv}{dx}$
  $$ \begin{aligned} 2by = -y\\ 2b = -1\\ b = -\frac{1}{2} \end{aligned} $$

Jadi, Nilai a dan b $f(z) = (ax^2+by^2)+ixy$ menjadi fungsi entire adalah
$a = \frac{1}{2}$ dan $b = -\frac{1}{2}$