Nilai Mutlak Sistem bilangan Real

Nilai Mutlak

Nilai mutlak adalah nilai suatu bilangan real tanpa adanya tanda tambah (+) atau kurang (–).
Nilai mutlak $a,$ ditulis $\vert a\vert$ dan didefinisikan:

$$ \vert a\vert=\begin{cases} a, \text{ jika} &a\geq 0 \\-a, \text{ jika} &a\lt 0 \end{cases} $$

Dari definisi diatas terlihat bahwa nilai $\vert a\vert$ akan selalu positif atau 0, tidak pernah negatif.
Misal:

1. $\vert 6\vert = 6$
2. $\vert -3\vert=3$
3. $\vert 5-7\vert= \vert -2\vert = 2$

Sifat-sifat Nilai Mutlak

1. $\vert a\vert\geq 0$
2. $\vert ab\vert = \vert a\vert\vert b\vert $
3. $\frac{a}{b} = \frac{\vert a\vert}{\vert b\vert}, b \neq 0$
4. $\vert a+b\vert\leq \vert a\vert + \vert b\vert $ (Ketidaksamaan segitiga)
5. $\vert a-b\vert\geq \vert a\vert - \vert b\vert $

Catatan:

1. $\vert a\vert = \sqrt{a^2}$
2. $\vert a\vert <\vert b\vert ⇔ a^2 < b^2$

Sifat-sifat Pertidaksamaan dalam Nilai Mutlak

1. $|x| < a ⇔ –a < x < a$
2. $|x| > a ⇔ x < –a \cup x > a$
3. $|x| \leq a ⇔ –a \leq x \leq a$
4. $|x| \geq a ⇔ x \leq –a \cup x \geq a$

Contoh:

1. Tentukan nilai $x$ yang memenuhi $\vert 2x-1\vert < 3$Jawab :

$$ \begin{aligned} \vert 2x-1\vert < 3\\ - 3 < 2x - 1 < 3\\ - 2 < 2x < 4\\ - 1 < x < 2 \end{aligned} $$

1. Tentukan nilai $x$ yang memenuhi $\vert 2x-1\vert > 5$Jawab:

$$ \begin{aligned} \vert 2x-1\vert > 5 \\ 2x - 1 < - 5 \cup 2x - 1 > 5 \\ 2x < - 4 \cup 2x > 6\\ x < -2 \cup x > 3 \end{aligned} $$

Silahkan jika ada yang ingin bertanya dan berdiskusi. Terima kasih