Operasi Matriks

Transpose Matriks

Transpose dari sebuah matriks adalah matriks baru yang dihasilkan dengan menukar baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. Matriks transpose dari matriks $A$ dilambangkan dengan $A^T$
Contoh:

$$ A = \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 3 &4 \\ \end{pmatrix}, \quad A^T = \begin{pmatrix} 1 &3 \\ 2 &4 \\ \end{pmatrix} $$

Kesamaan Dua Matriks

Dua matriks dikatakan sama jika kedua matriks tersebut memiliki ukuran yang sama (jumlah baris dan kolom sama) dan elemen-elemen yang sesuai pada posisi yang sama juga bernilai sama.
Contoh:
Diketahui matriks $A$ dan $B$ adalah sebagai berikut:

$$ A = \begin{pmatrix} 2x &-2 \\ 2y+1 &y \\ \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 6 &x+y \\ -9 &1-2x \\ \end{pmatrix} $$

Jika matriks $A$ sama dengan matriks $B$, tentukan nilai dari $5x + 3y$
Penyelesaian:
$A = B$

$$ \begin{pmatrix} 2x &-2 \\ 2y+1 &y \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 &x+y \\ -9 &1-2x \\ \end{pmatrix}, $$

Dari persamaan matriks tersebut didapat:

• $$ \begin{aligned} 2x &= 6\\ x &=3 \end{aligned} $$
• $$ \begin{aligned} 2y+1 &= -9\\ 2y &=-10\\ y &= 5 \end{aligned} $$ Maka,
  $$ \begin{aligned} 5x+3y &= 5(3) + 3(-5)\\ &= 15-15\\ &=0 \end{aligned} $$

Penjumlahan pada Matriks

Penjumlahan dua matriks dilakukan dengan menjumlahkan elemen-elemen yang berada pada posisi yang sama dalam kedua matriks. Penjumlahan matriks hanya bisa dilakukan jika kedua matriks memiliki ukuran yang sama.
Contoh:
Diberikan matriks

$$ A = \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 3 &4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 &6 \\ 8 &7 \end{pmatrix}, \text { hitunglah } A+B $$

Penyelesaian:

$$ A + B = \begin{pmatrix} 1 + 5 &2 + 6 \\ 3 + 7 &4 + 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 &8 \\ 10 &12 \end{pmatrix} $$

Pengurangan pada Matriks

Pengurangan dua matriks dilakukan dengan mengurangi elemen-elemen yang berada pada posisi yang sama dalam kedua matriks. Pengurangan matriks hanya bisa dilakukan jika kedua matriks memiliki ukuran yang sama.
Contoh:
Diberikan matriks

$$ A = \begin{pmatrix} 7 &8 \\ 9 &10 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 3 &2 \\ 5 &4 \end{pmatrix}, \text { hitunglah } A-B $$

Penyelesaian:

$$ A - B = \begin{pmatrix} 7-3 &8-2 \\ 9-5&10-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 &6 \\ 4&6 \end{pmatrix} $$

Perkalian pada matriks

Perkalian Bilangan Real dengan Matriks

Perkalian bilangan real dengan matriks dilakukan dengan mengalikan setiap elemen dalam matriks dengan bilangan real tersebut.
Contoh:
Diberikan matriks

$$ A = \begin{pmatrix} 1 &2\\ 3 &4 \end{pmatrix}, \text{ dan } k = 3 \text { hitunglah } kA $$

Penyelesaian:

$$ kA = 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 &6 \\ 9 &12 \end{pmatrix} $$

Perkalian Dua Matriks

Perkalian dua matriks dilakukan dengan mengalikan elemen-elemen dari baris matriks pertama dengan elemen-elemen dari kolom matriks kedua, lalu menjumlahkan hasil-hasilnya. Perkalian ini hanya bisa dilakukan jika jumlah kolom di matriks pertama sama dengan jumlah baris di matriks kedua.
Contoh:
Diberikan matriks

$$ A = \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 3 &4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 &6 \\ 7 &8 \end{pmatrix}, \text { hitunglah } A \cdot B $$

Penyelesaian:

$$ A \cdot B = \begin{pmatrix} (1 \times 5) + (2 \times 7) &(1 \times 6) + (2 \times 8) \\ (3 \times 5) + (4 \times 7) &(3 \times 6) + (4 \times 8) \end{pmatrix} $$

$$ A \cdot B = \begin{pmatrix} 5 + 14 &6 + 16 \\ 15 + 28 &18 + 32 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 &50 \end{pmatrix} $$

Sekin Terima kasih!