Struktur Aljabar

Diketahui bahwa $G:$ $=${$m+n\sqrt{2}|m,n \in Z$} merupakan grup terhadap operasi penjumlahan dan $H$ $=$ {$3a+5a\sqrt{2}|a,b \in Z$} merupakan subgrup dari $G$. Kardinalitas dari $G/H$ adalah....

Penyelesaian:

$H$ mengambil kelipatan $3$ dari bagian bilangan bulat $m$ dan kelipatan $5$ dari bagian bilangan bulat $n$ maka sisa dari pembagian tersebut adalah:
untuk $m = 0,1,2$; dan untuk $n\sqrt{2} = 0\sqrt{2}, 1\sqrt{2}, 2\sqrt{2}, 3\sqrt{2},$ dan $4\sqrt{2}$
Misalkan $H = 0,$ dan $H+1 = 1$, dan $H+2 =2$
Sehingga didapat elemen dari $G/H$ adalah:

1. $H$
2. $H+1$
3. $H+2$
4. $H+\sqrt{2}$
5. $H+1 +\sqrt{2}$
6. $H+2+ \sqrt{2}$
7. $H+2\sqrt{2}$
8. $H+1+2\sqrt{2}$
9. $H+2+2\sqrt{2}$
10. $H+3\sqrt{2}$
11. $H+1+3\sqrt{2}$
12. $H+2+3\sqrt{2}$
13. $H+4\sqrt{2}$
14. $H+1+4\sqrt{2}$
15. $H+2\sqrt{2}$

Dengan demikian, didapat 15 elemen unik dari $G/H$